Mathematical foundation of Information Field Dynamics (revised version)

I assure the single handed composition of this master's thesis only supported by declared resources. Hierbei nimmt er zu jedem Zeitpunkt t zwischen der Startzeit und der Zeit T , zu welcher die Daten simuliert werden sollen, eine lineare Relation zwischen den Daten d(t) und dem Signal φ(t) durch einen Operator R(t) an. Messabweichungen werden durch einen Zufallsvektor n(t) dargestellt. Auch das Signal wird zu jedem Zeitpunkt als Zufallsvek-tor interpretiert, dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung diejenigen Signale gewichtet, die möglicherweise zu den gemessenen Daten geführt haben. Die Daten können so als eine Realisierung des Zufallsvektors R(t)φ(t) + n(t) aufgefasst werden. IFD partitioniert das Zeitintervall (0, T ] durch ((t i , t i+1 ]) 2 N i=0 und simuliert induktiv für jedes i aus den Daten d(t i) des vorherigen Zeitschrittes die Daten d(t i+1), bis d(T) berech-net ist. Dabei wird die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte P φ(t i)|d(t i) aus Annahmenüber P φ(t i) und P n(t i) berechnet und gemäß der linearisierten Evolutionsgleichung weiteren-twickelt. Die so entstehende Dichte P φ(t i)|d(t i+1) wird dann mit der bedingten Wahrschein-lichkeitsdichte P φ(t i+1)|d(t i+1) abgeglichen. Dies geschieht durch Minimierung der relativen Entropie zwischen den Dichten bezüglich d(t i+1) und legt so den simulierten Datenvektor für den Zeitpunkt t i+1 fest. Dabei entsteht d(t i+1) durch Matrixmultiplikation aus d(t i). Es ergibt sich ein iterativer Algorithmus zur Berechnung von d(T) aus d(0). In dieser Arbeit wird der Ansatz in [1] auf mathematische Weise präzisiert und einzelne Teile werden korrigiert. Approximationsschritte werden dabei durch das Verschwinden des informationstechnischen Fehlers im Grenzfall δt = T 2 N → 0 gerechtfertigt. Am Beispiel des eindimensionalen Klein-Gordon Feldes, periodischüber [0, 2π), wird die Simulation mittels IFD illustriert. Dabei ensteht durch den Grenzübergang δt → 0 eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Daten, deren Lösung eine direkte Simulation von d(T) durch d(0) durch Matrixmultiplikation zulässt. Dadurch kann der iterative Algorithmus von IFD durch die Berechnung einer einzelnen Matrix weiter vereinfacht werden.